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2月8日 Que bonitas son las matemáticas... Fractal: Conjunto de Mandelbrot
La Botella de Klein
La palabra "topos" proviene del griego y significa "lugar". La Topología es una rama muy importante de las Matemáticas que estudia aquellas propiedades de los objetos geométricos que tienen que ver con la "proximidad" o la "posición relativa" entre puntos. Podríamos referirnos a la Topología como una "geometría cualitativa", en la que se deja a un lado nociones cuantitativas como longitud, ángulo, área, volumen, etc. (propias de la geometría clásica) y se centra más bien en nociones cualitativas como, por ejemplo, si tiene agujeros o no, borde, o si se puede partir en componentes conexas, etc.
En topología, una botella de Klein es una superficie no orientable, sin bordes y con un único lado. Fue concebida por el matemático alemán Christian Felix Klein, de donde se deriva el nombre. Teóricamente, puesto que en la práctica es imposible, se podría construir introduciendo el extremo delgado de una botella a través de uno de los lados del recipiente y uniéndolo a la base.
La Banda de Mobius
La banda de Möbius o cinta de Möbius (así denominada en homenaje al matemático alemán August Möbius) es un objeto que tiene una sola cara y no es orientable. Para construirla se parte de una cinta cerrada de dos caras, se hace un corte, se gira uno de los extremos y se vuelve a pegar. Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología. La banda resultante sólo tiene una cara, lo que se puede comprobar tratando de pintar un lado de un color y el opuesto de otro: se llegará al momento en que los dos colores choquen. Además esta única cara no es orientable. Si se parte con una triada de ejes perpendiculares, y se desplaza palalelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.
Pétalo Geométrico (Conchoide)
Cicloides esféricas
Curva de Viviani
Semejanza de Triángulos
Demostración del Teorema de Pitágoras
Sistema de Numeración Egipcio
Como todos sabemos los egipcios representan una de las civilizaciones más antiguas y desarrolladas del mundo, sabemos algo acerca de su aritmética debido a la existencia de los papiros de Rhind y de sus múltiples jeroglíficos.
En la siguiente figura mostramos los principales signos utilizados por los egipcios.
Estos son sólo algunos ejemplos del empleo de los símbolos y sus equivalencias. Como puedes observar, los signos de orden más elevado van a la derecha, siguiendo los de menor valor. Espiral de Fibonacci
Se puede construir la espiral de Fibonacci, que es un tipo de espiral logarítmica, a partir de los rectángulos de Fibonacci, con los números de la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,....
Comenzamos dibujando dos pequeños cuadrados de lado una unidad, que estén juntos, a partir de ahí se forma un rectángulo, cuyo lado mayor, que es 2 sirve como lado de un nuevo cuadrado, el cual pegamos a los anteriores, nuevamente obtenemos un rectángulo de dimensiones 3 x 2; a partir de aquí, el proceso se reitera, sucesivamente, añadiendo cuadrados cuyos lados son los números de la sucesión de Fibonacci... Lógicamente, cada cuadrado tiene como lado, la suma de los lados de los dos cuadrados construídos anteriormente....Los sucesivos rectángulos que van apareciendo son los rectángulos de Fibonacci... Podemos apreciar este método constructivo en los siguientes dibujos: La espiral de Fibonacci se dibuja uniendo mediante arcos de circunferencias dos vértices opuestos de los sucesivos cuadrados obtenidos...
Construcción de la epitrochoide
 Poliedro
 Concepto de Derivada en un punto
Unos fractales en movimiento
Una ilusión óptica
Simetrías
Espiral
Hélice Esférica
12月18日 Algo de matematicas... para que después no digan que todo es poesia El número piEl número pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetroΠ = L/D. Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, tiene infinitas cifras decimales. Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo), A lo largo de la historia, a este ilustre guarismo se le han asignado diversas cantidades. En la Biblia aparece con el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios le otorgaban 4(8/9)²; y en China 3,1724. Sin embargo fue en Grecia donde la correspondencia entre el radio y la longitud de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más insignes enigmas a resolver. Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido ajustara casi con el anillo. Euclides precisa en sus Elementos, los pasos al límite necesarios y investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento.
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TÉRMINOS MATEMÁTICOS |
DESCRIPCIÓN NO MATEMÁTICA |
Claramente |
No quiero pasar por todos los pasos intermedios |
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Trivialmente |
Si tengo que mostrarte porque, te equivocaste de clase |
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Obviamente |
Si estabas dormido cuando lo expliqué, te fregaste, porque no repito la explicación |
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Pista |
La forma más difícil de hacerlo |
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Podemos asumir que |
Hay muchos casos, pero sé como hacer este |
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Usando el teorema... |
No recuerdo los detalles |
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El resto es álgebra |
Esta es la parte aburrida; si no me creen, háganlo |
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Demostración hablada |
Si la escribiese, encontraríais los errores |
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Brevemente |
Ya esta que se acaba la clase, así que escribiré y hablaré rápido |
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La dejo como ejercicio |
Estoy cansado |
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Demostración formal |
Yo tampoco la entiendo |
Las matemáticas son la música de la razón.
Silvester
La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.
Descartes, René
La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de
Pitágoras, y el otro el número áureo. El primero puede compararse a
una medida de oro, y el segundo a una piedra preciosa.
Johannes Kepler
Los teoremas han de ser nobles, sorprendentes, elegantes, intrigantes,
rigurosos, creativos ... y, sobre todo, comprensibles.
Alguien lo dijo no se quién
Las matemáticas son una ciencia exacta: siempre sabes que la vas a suspender.
Anónimo por no decir casi todo el mundo...
Me gustan los polinomios pero hasta cierto grado...
Unos que no saben lo bonitos que son
No se preocupe por sus dificultades en las matemáticas, yo puedo asegurarle que las mias son todavía mayores.
Mucha gente
COMO QUIEN NO QUIERE LA COSA AQUI DEJO LA BIOGRAFÍA DE THALES
(¡¡¡ POR SI ALGUIEN LA LEE !!!)
THALES DE MILETO (624 a.C - 546 a.C.)
Nació y murió en la ciudad de Mileto. Sus padres fueron Examyes y Cleobuline. Fue maestro de Anaximandro. Ninguno de sus escritos sobrevivieron , por lo que es difícil saber exactamente cuáles fueron sus descubrimientos matemáticos. Probablemente se le atribuyan descubrimientos que no le corresponden. Lo que sabemos de Thales proviene de Aristóteles. Primero fue a Egipto y desde allí introdujo en Grecia Los estudios sobre Geometría.
La opinión antigua es unánime al considerar a Thales como un hombre excepcionalmente inteligente y como el primer filósofo griego, científico y matemático, pero actuaba como un ingeniero. Es considerado el primero de los Siete Sabios Griegos.
El hecho concreto que más aseguró su reputación fue la predicción de un eclipse de sol. en 585 a.C., que tuvo lugar exactamente el. 28 de mayo del año que él había predicho. Igualmente fue el primero en mantener que la luna brilla por el reflejo del sol.
Según Proclo, primero fue a Egipto donde entró en contacto con la Geometría que luego introdujo a Grecia.
Tomó prestada La Geometría de los egipcios y dio en ella un avance fundamental ya que fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante series regulares de argumentos. En otras palabras, inventó la matemática deductiva. Se le asignan entre otros los siguientes teoremas:
1. Un ángulo inscripto en una semicircunferencia es un ángulo recto.
2. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro.
3. Los ángulos básicos en un triángulo isósceles son iguales.
4. Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas, son iguales.
5. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los dos triángulos son iguales.
Midió la altura de las pirámides midiendo la altura de sus sombras en el momento en el cual la sombra de una persona es igual a su altura. Este razonamiento no parece surgir de conocimientos geométricos sino más bien de una observación empírica. Creyó que en el. momento en que la sombra de un objeto coincide con su altura, también eso es válido para cualquier objeto, por ejemplo, la pirámide.
Hay dos anécdotas vinculadas a Thales. Una La cuenta Aristóteles, y dice que Thales usaba sus habilidades para deducir que La cosecha de aceitunas de La siguiente temporada sería muy buena. Entonces compraba todas las prensas de aceitunas, con Lo cual podía hacer fortunas cuando la abundante cosecha llegaba.
Platón cuenta la otra anécdota: una noche Thales estaba observando el cielo y tropezó. Una sirviente lo Levantó y Le dijo: cómo pretendes entender lo que pasa en el cielo, si no puedes ver lo que está a tus pies.
Es difícil escribir sobre Thales, como sobre otros personajes de esa época, porque era común acreditarles a hombres famosos descubrimientos que no hicieron. Por ejemplo, no hay constancia histórica de que Thales haya enunciado eL teorema que conocemos como Teorema de Thales, aunque si es cierto que Thales trabajó sobre la proporcionalidad de segmentos al calcular alturas midiendo las sombras. En eL momento de morir pronunció Las siguientes palabras: «Te alabo, ¡oh Zeus!, porque me acercas a ti. Por haber envejecido, no podía ya ver las estrellas desde la tierra. »
Aqui os dejo la de Pitágoras
que si no se me pone celoso....
Nació en la isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C., Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.
Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Menesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Más tarde viajó a Egipto; allí estudió geometría y astronomía.
Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.
La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.
La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.
El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría».
También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega. El número resultaba ser la clave de todas las cosas.
La voluntad de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que se establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo.
Él deciá:
"Educad a los niños y no será necesario castigar a los hombres."
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"Preciso es encontrar lo infinitamente grande en lo infinitamente pequeño, para sentir la presencia de Dios." | |
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FRACTALESAn
ón
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La geometría fractal se ocupa del estudio de aquellas formas que presentan, dicho en términos llanos, dos características fundamentales:
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Una gran rugosidad.
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Autosimilitud, propiedad que consiste en que la forma del objeto presenta el mismo aspecto al ser observada a distintas escalas.
Un ejemplo típico de fractal natural es la hoja de helecho: si cogemos una de sus partes y la ampliamos, nos encontraremos con la misma forma inicial. En las fractales matemáticas, esta autosimilitud se da en todas las escalas (por cierto: la figura no es un helecho, sino la gráfica de un sistema de función iterada).
Se pueden ver varios ejemplos de fractales en las imágenes de mi página, espero que os gusten.
Aqui os dejo la
construcción de la curva de Koch que fue empleada para estudiar y representar la irregularidad de las costas marítimas
Un problemita curioso...
El problema de los puentes de Königsberg
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En el siglo XVIII había en la ciudad de Königsberg (situada en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia) siete puentes que conectaban cada una de las orillas del río Pregel con dos islas interiores. Los ciudadanos estaban muy orgullosos de sus puentes y bromeaban sobre la posibilidad de recorrerlos todos pasando una sola vez por cada uno de ellos.
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El tema se hizo muy popular y llegó a oídos de Euler, matemático suizo nacido en Basilea en 1707, quien demostró que era imposible recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por uno de ellos.
Para comprobarlo, identificó cada una de las orillas con un punto e hizo lo mismo con cada una de las islas, convirtió los puentes en líneas que unían los puntos; de esta forma obtuvo una red de puntos y líneas como se ve en la figura siguiente.
En una red de este tipo, se denominan vértices pares a aquellos a los que llega un número par de líneas, e impares si es un número impar.
Euler demostró que era imposible recorrer una red sin pasar dos veces por el mismo camino (línea) si ésta tenía más de dos vértices impares. En el caso de que sólo hubiera dos vértices impares, era posible recorrer la red si se partía de un vértice impar y se acababa en el otro.
Por lo que respecta a los puentes, todos los vértices son impares (a todos llegan tres caminos, excepto a una de las islas que llegan cinco), por tanto, el problema no tiene solución.
Unas curvas curiosas...la cicloide y la cardioide
La cicloide es la curva que describiría una chincheta clavada en una rueda de radio rque avanza girando sin deslizarse.
La cardioide es la curva que describe un punto fijo del borde de un círculo que rueda sin deslizar sobre otro del mismo radio.
Curiosidades matemáticas (¡¡ que alguien lo lea sin pena ninguna!!)
ESCHER
El artista holandés M. C. Escher (1898-1972) estaba interesado en las figuras que se transforman casi inperceptiblemente en otras versiones más grandes o más pequeñas. Fue capaz de descubrir como dibujar figuras en el interior de una circunferencia o de un cuadrado, que se hacían gradualmente mayores a medida que se acercaban al borde. Pero hasta que no vió la representación matemática de la GEOMETRIA HIPERBÓLICA (en la cual la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman menos de 180 grados) no descubrió como hacer figuras que gradualmente se hacían más pequeñas a medida que se acercaban al borde.
En el albun de fotos se encuentra una pequeña muestra del arte de Escher, espero que os guste. Si estaís interesados en la explicación de cada figura podeís entrar en la pagina de M.C. Escher y navegar por su arte. Aquí os dejo un pequeño avance, es el Circulo límite o los Ángeles y Demonios de Escher
En este grabado circular, los ángeles y los diablos encajan unos entre los otros. Las figuras, todas semejantes, disminuyen de tamaño según nos alejamos del centro y se desvanecen en una fuga hacia el exterior
El Fabuloso Mundo de las Cónicas
Cosas de matematicas.... ¡¡¡ muy interesantes por cierto !!
Pulsar ESC para deterner la música de fondo y pasar el ratón por encima para ver el video, vale la pena porque es muy interesante:
Estudio de la pendiente de las funciones...
Teorema de Pitágoras
En la actualidad, existen más de 1000 demostraciones que confirman que el Teorema de Pitágoras es uno de los resultados que a través de la historia más han llamado la atención.
Generalmente, tanto en primaria como en secundaria, al abordarse el estudio del Teorema de Pitágoras, se parte del enunciado de la regla y se pasa directamente a su aplicación en la solución de triángulos rectángulos.
Breve Historia.
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió en el periodo 585 – 500 A. C. Hombre místico y aristócrata que fundó la Escuela Pitagórica, una especie de secta cuyo símbolo era el pentágono estrellado, y dedicada al estudio de la filosofía, la matemática y la astronomía.
Por muchos años se le ha atribuido a Pitágoras el enunciado y demostración del teorema geométrico que lleva su nombre. Aunque algunos historiadores consideran lo contrario, ha resultado difícil demostrarlo, debido al misterio que rodeaba las enseñanzas de la escuela, así como el carácter verbal de estas y la obligación de atribuir todos los conocimientos al jerarca de la escuela.
Existen evidencias de que en otras culturas también se conocía el teorema. Por ejemplo, los hindúes explícitamente enuncian una regla equivalente a este teorema en el documento Sulva – Sutra que data del siglo VII A.C. Por otra parte, los Babilonios aplicaban el teorema 2000 años A. C., pero tampoco se conoce de la existencia de una demostración, ya que la geometría no era para ellos una teoría formal sino un cierto tipo de aritmética aplicada, en la cual las figuras venían representadas en forma de números. A su vez, los egipcios conocían que el triángulo de lados 3,4 y 5 es rectángulo pero no se conoce de la existencia de alguna regla que sustente el conocimiento del teorema.
Algunos aseguran que durante sus viajes a Egipto y al oriente antiguo, el sabio griego conoció el enunciado de la regla y se dedicó a demostrarla.
El enunciado que dieron los antiguos griegos al Teorema de Pitágoras es el siguiente: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
El enunciado moderno es: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
La fórmula :
Llamada identidad de Euler, es ciertamente la fórmula más importante de las matemáticas, pues une de forma escueta (y misteriosa) que encierra distintos campos de esta ciencia:
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0 y 1 son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación.
Otra curiosidad de esta fórmula es que, si la escribimos de esta manera:
representa la evolución del concepto de número a lo largo de la historia. Desde el concepto más intuitivo, los números naturales, conocidos desde la prehistoria, añadiendo los números negativos (representados por -1) obtenemos los números enteros. Luego, añadiendo las fracciones (no aparecen) obtenemos los racionales. Después, añadiendo los irracionales (e y π) obtenemos los números reales. Y finalmente, añadiendo los números imaginarios (representados por i) obtenemos los números complejos.
Volviendo a la primera fórmula, se puede ver que también cuenta la historia de una evolución en las matemáticas, en este caso de las operaciones aritméticas. Aparecen una suma, un producto y una potencia.
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